Dalle lezioni del corso di Complementi di Costruzione di Macchine tenute dal Prof. Ing. Renato
Esposito
nell'anno accademico 1977/78 presso la Facolta' di Ingegneria dell'Universita' di Napoli
Il metodo degli Elementi Finiti applicato al calcolo strutturale
Esposizione applicativa completa di motore online gratuito per la risoluzione delle strutture
piane
con disegno (della struttura, della deformata, delle sollecitazioni) e relazione PDF scaricabile
INFORMAZIONE: sono stati inseriti 3 progetti dimostrativi, tutti privi di password
(cioe' nel campo password non occorre inserire nulla). I progetti sono:
- demo1: portale isostatico semplice
- demo2: trave reticolare
- cap_1: capriata semplice
Per tutti questi progetti, a titolo dimostrativo, si possono effettuare i calcoli,
visualizzare le deformate, nonche' scaricare i report PDF stampabili.
NOTA: attendere sempre alcuni secondi per la visualizzazione delle immagini.
Indice:
Presentazione
Il metodo degli elementi finiti applicato al calcolo strutturale e' un brillante connubio tra
calcolo matriciale e scienza delle costruzioni. In questa pagina web trovate:
- l'applicazione commentata del metodo dal punto di vista della programmazione (v. paragrafo "I calcoli")
- un programma denominato motore online che dimostra l'utilizzo del metodo
Il "motore online" e' un programma gratuito per la risoluzione delle strutture piane, con generazione
dinamica dei disegni (struttura, carichi, deformata) e della relazione finale PDF (scaricabile e stampabile).
L'implementazione su Internet del motore di calcolo e' resa possibile dall'elevata potenza elaborativa del
servente web su cui "gira" il programma (si tratta di un Athlon a 2 GHz con s.o. Linux) e dalla
estrema potenza del linguaggio utilizzato nella programmazione (il Perl). Se disponete di una connessione ADSL
otterrete i risultati praticamente in tempo reale.
La realizzazione di questa pagina web e del motore online mi e' stata resa possibile dall'aver seguito a suo tempo
il corso di Complementi di Costruzione di Macchine per gli allievi del Corso di Laurea in Ingegneria
Meccanica, le cui lezioni erano tenute nella seconda meta'
degli anni '70 dal chiarissimo Prof. Ing. Renato Esposito
alla Facoltà di Ingegneria dell'Universita' di Napoli Federico II).
Il motore online e le sue caratteristiche
Il motore online consente di risolvere le strutture piane e di trovare le caratteristiche della sollecitazione nelle aste. Il motore e' funzionante
e chiunque puo' inserire la sua struttura ed ottenere il risultato del calcolo, disegni e
relazione finale in PDF scaricabile
inclusi. Le strutture inserite sono richiamabili in tempi successivi da coloro che le
hanno inserite (attraverso una "sigla" ed una password). Le strutture non riutilizzate
entro 6 mesi vengono automaticamente cancellate. Il servizio e' gratuito. Le istruzioni per
l'utilizzo sono fornite nell'ultimo paragrafo di questa pagina.
Dal punto di vista strutturale queste sono le caratteristiche del motore online:
- elementi trattati: elementi monodimensionali, in particolare
aste metalliche con modulo di Young a trazione uguale a quello di compressione,
sezione retta e momento d'inerzia costante lungo ciascun elemento
- sistema di coordinate globale: asse x orizzontale ed asse y verticale (rispetto
al piano di terra)
- sistema di coordinate locale: un sistema per ogni asta, con l'asse x (lungo l'asta)
avente origine in un estremo dell'asta e direzione positiva verso
l'altro estremo, ed asse y ortogonale all'asta nel piano della struttura
- numero di nodi: massimo 99 nodi
- numero di aste: massimo 99 aste
- carichi applicabili: forze e momenti sui nodi (in futuro anche sulle aste)
- vincoli interni: incastro, cerniera
- vincoli esterni: incastro, cerniera, appoggio verticale (cioe' appoggio con sola
reazione nella direzione dell'asse y globale)
- disegno della struttura: generato dinamicamente, con visualizzazione dei carichi
e della deformata con amplificazione selezionabile (il disegno della deformata tiene
conto degli spostamenti orizzontali e verticali dei nodi, ma non delle rotazioni)
- stampa del progetto: file PDF generato dinamicamente, scaricabile e stampabile
(include le matrici di ogni singola asta)
Con queste caratteristiche si possono risolvere travature reticolari piane complesse, come
ad esempio un ponte appoggiato da un lato ed incernierato dall'altro. Le sollecitazioni
termiche ed i vincoli cedevoli non sono previsti.
Dal punto di vista informatico le caratteristiche del motore online sono le seguenti:
- modello di programmazione: client/server
- protocollo di comunicazione: HTTP/CGI
- linguaggio di programmazione: Perl
- database di supporto: MySQL
- disegno dinamico: modulo GD.pm scritto in Perl da Lincoln D. Stein (il modulo GD
a sua volta si appoggia alla libreria grafica GD di Tom Boutell)
- trattamento delle matrici: modulo Math::Matrix scritto in Perl da Ulrich Pfeifer
- generazione dinamica dei files PDF: modulo PDF::API2 scritto in Perl da Alfred
Reibenschuh
Da anni realizzo banche dati online in Perl/MySQL, cioe' applicazioni prettamente
gestionali, ma posso assicurare (ed i risultati lo dimostrano) che tale "accoppiata" risulta
altrettanto valida per applicazioni eminentemente tecniche come questa di calcolo strutturale.
Il Perl esegue le operazioni matematiche in "doppia precisione", anche se i risultati per
motivi estetici sono presentati con opportuno arrotondamento.
Nota sulla realizzazione del motore online
Nella stesura di questo articolo in lingua italiana, e nella scrittura del programma
in Perl del motore online, posso aver commesso uno o piu' errori. Ringrazio anticipatamente
tutti coloro che vorranno segnalarmi eventuali errori, affinche' li possa correggere. Ringrazio
anche coloro che vorranno darmi idee e suggerimenti per migliorare la fruibilita' di queste
pagine web, o fornire materiale addizionale da pubblicare.
Nota sulla responsabilita'
Le informazioni contenute in questa pagina web sono fornite a puro titolo didattico, e
non hanno la pretesa di essere complete ne' veritiere. Cionondimeno ho posto la
massima attenzione nel presentare informazioni quanto piu' possibile accurate e prive
di errori.
Il motore online per il calcolo delle strutture il cui uso gratuito e' offerto in questa pagina
web va utilizzato a puro scopo didattico, ed e' stato realizzato per consentire agli studenti
di Ingegneria di verificare l'esattezza dei propri calcoli effettuati con tecniche
tradizionali.
Non mi assumo alcuna responsabilita' per errori di dimensionamento derivanti dall'uso
dei risultati di calcolo strutturale forniti dal motore online. L'uso dei risultati
per scopi diversi da quello didattico sopra menzionato e' a rischio e pericolo di chi
lo fa.
La definizione della struttura
La definizione della struttura nel motore online avviene inserendo nodi ed aste. I dati
inseriti possono essere integrati, modificati o eliminati in qualunque momento, ad esempio si possono
spostare o eliminare nodi, aggiungere e togliere aste. Le coordinate dei nodi della
struttura vanno inserite nel sistema di riferimento globale sopra definito. Cambiando le coordinate
di un nodo cambia la lunghezza di tutte le aste ad esso afferenti. Non e' permesso eliminare
un nodo se prima non sono state tolte tutte le aste ad esso collegate.
La definizione dei nodi della struttura prevede, per ciascun nodo, l'input di:
- coordinate globali
- tipo di vincolo realizzato
- carichi nodali
La definizione delle aste della struttura prevede, per ciascuna asta, l'input di:
- nodi estremi
- modulo di Young
- area della sezione retta
- momento d'inerzia
- designazione UNI
Per le aste, nell'help in linea, sono riportati l'area della sezione retta ed il momento
d'inerzia per le aste UNI della serie IPE.
La definizione dei carichi
I carichi si distinguono in carichi nodali e carichi sulle aste, e vanno
inseriti nel motore online ordinatamente uno alla volta. In questa prima versione del
motore online e' possibile definire solo carichi nodali. Appena possibile saranno implementati
i carichi sulle aste che, come noto, vanno trasformati in carichi nodali equivalenti prima
di effettuare il calcolo complessivo della struttura. Dopo il calcolo, poi, i carichi sulle
aste verranno addizionati alle sollecitazioni nodali determinate dal calcolo, e l'insieme
complessivo di forze e momenti verra' utilizzato per ricavare il diagramma della sollecitazione
asta per asta.
Come carichi nodali si possono inserire:
- forze
- nodi interni: su tutti gli incastri e tutte le cerniere in tutte le direzioni
(attraverso l'indicazione delle componenti sugli assi globali)
- nodi esterni: si possono applicare tutte le forze che non siano contrastate
dalle reazioni vincolari (che non caricherebbero la struttura); quindi e' inutile
caricare forze su incastri e cerniere, e nella direzione della reazione degli appoggi
- momenti
- nodi interni: su tutti gli incastri
- nodi esterni: inutile applicare momenti su incastri esterni perche' vengono
contrastati dalla reazione vincolare e non producono carico sulla struttura
Come carichi sulle aste si potranno introdurre (in una versione successiva del motore online):
- carico concentrato: uno o piu' carichi concentrati in punti qualsiasi dell'asta;
ogni carico puo' anche essere non ortogonale all'asta medesima (in questo caso in
fase di input dei dati occorre fornire l'inclinazione in gradi)
- carico distribuito: uno o piu' carichi distribuiti anche a copertura parziale
dell'asta, ed anche non ortogonali all'asta medesima (anche in questo caso occorre
fornire l'angolo di inclinazione)
- momento: uno o piu' momenti anche in piu' punti diversi dell'asta
Se su un'asta e' sollecitata da piu' di un carico vale il principio di sovrapposizione
degli effetti.
I calcoli
Per la comprensione delle figure associate a ciascuna delle fasi esposte in questo paragrafo si
suppone che il lettore conosca il calcolo matriciale ed abbia seguito almeno il corso
di teoria del metodo degli elementi finiti applicato al calcolo strutturale. Infatti
tutte le spiegazioni fornite non intendono sostituirsi al corso teorico, ma sono relative
esclusivamente all'implementazione pratica del metodo di calcolo.
Una volta inseriti i dati relativi alla definizione della struttura ed alla definizione
dei carichi, il motore online passa alla risoluzione della struttura effettuando le
operazioni qui appresso descritte. Il numero di ciascuna FASE e' in relazione
diretta con il display dei passaggi svolti durante i calcoli dal motore online:
- FASE 1: calcolo della lunghezza l (fig.1) per ciascuna asta
- FASE 2: calcolo della matrice di trasformazione dal sistema di coordinate locali
al sistema di coordinate globali L (fig.2) per ciascuna asta
- FASE 3: calcolo della matrice di rigidezza in coordinate locali kl
(fig.3) per ciascuna asta
- FASE 4: calcolo della matrice di rigidezza in coordinate globali kg
(fig.4) per ciascuna asta
- FASE 5: assemblaggio della matrice di rigidezza della struttura complessiva in
coordinate globali K (fig.5)
- FASE 6: determinazione del vettore dei carichi nodali P sulla struttura
(fig.6)
- FASE 7: estrazione della matrice di rigidezza dei nodi liberi della struttura
Kll (fig.7)
- FASE 8: estrazione del sottovettore dei carichi Pl non
contrastati dai vincoli esterni (fig.8)
- FASE 9: calcolo del vettore degli spostamenti dei nodi non vincolati Sl
(fig.9)
- FASE 10: costruzione del vettore degli spostamenti S di tutti i nodi della struttura
in coordinate globali (fig.10)
- FASE 11: risoluzione delle aste:
- calcolo del vettore sg degli spostamenti dei nodi estremi in coordinate globali (fig.11)
- calcolo del vettore sl degli spostamenti dei nodi estremi in coordinate locali (fig.12)
- calcolo del vettore pl dei carichi dei nodi estremi in coordinate locali (fig.13)
- calcolo delle caratteristiche della sollecitazione (fig.14)
Una volta diagrammate le caratteristiche della sollecitazione e' immediato ricavare
la sezione piu' sollecitata e le tensioni di confronto.
Al termine dei calcoli e' possibile generare dinamicamente e scaricare dal servente un file
PDF con la relazione completa di calcolo, disegni inclusi.
Istruzioni per l'utilizzo
L'interfaccia del motore online e' semplice ed intuitiva, facile da utilizzare per chiunque
sappia navigare su Internet. In ogni caso queste sono le istruzioni generali.
- per accedere: fare click sul link in fondo a questa pagina. Appare il menu con la
sezione Progetti aperta. Le altre sezioni non si espandono se non si inserisce un
nuovo progetto o se non si richiama un progetto esistente. Per inserire un nuovo progetto
selezionare la scelta n.1, quindi riempire tutti i campi richiesti, ed infine ricordarsi
di registrare il progetto facendo click sul pulsante registra in fondo alla pagina.
Quindi tornare al menu principale. Uno dei campi obbligatori nell'inserimento di un nuovo
progetto e' la sigla, cioe' un campo di max 20 caratteri dove occorre inserire una
stringa mnemonica che servira' per poter richiamare il progetto in future sessioni di
lavoro. Per richiamare un progetto inserito in precedenza occorre digitare la sigla (o parte
della sigla) nell'apposita casella della scelta n.2 e fare click su OK. Appare l'elenco
delle sigle dei progetti esistenti che contengono i caratteri digitati nella casella.
Selezionare la sigla del progetto desiderato e fare click su prosegui. Digitare
la password del progetto e fare click su controlla password. La password e'
necessaria perche' ciascuno lavori sui propri progetti e non interferisca con i progetti
degli altri. Se la password e' accettata si puo' tornare al menu principale
- per modificare i dati generali di un progetto: fare click sulla scelta n.3 della
sezione Progetti del menu principale; al termine ricordarsi di fare click sul
pulsante aggiorna, e tornare al menu principale
- per inserire nodi e carichi nodali: fare click sulla scelta n.1 della sezione
Nodi; rispettare le unita' di misura indicate; fare click su help accanto
ad ogni campo per le informazioni necessarie
- per visualizzare, modificare o cancellare nodi e carichi nodali: fare click
sulla scelta n.2 della sezione Nodi; selezionare il nodo dalla lista dei nodi
disponibili e fare click su visualizza; apportare le opportune modifiche, fare
click su aggiorna e tornare al menu principale; per eliminare il nodo fare click
su elimina e confermare
- per inserire aste: fare click sulla scelta n.1 della sezione Aste; rispettare
le unita' di misura indicate; fare click su help accanto ad ogni campo per le
informazioni necessarie
- per visualizzare, modificare o cancellare aste: fare click sulla scelta n.2 della
sezione Aste; selezionare l'asta dalla lista delle aste disponibili e fare click
su visualizza; apportare le opportune modifiche, fare click su aggiorna e
tornare al menu principale; per eliminare l'asta fare click su elimina e confermare
- per disegnare la struttura: fare click su una delle scelte della sezione
Disegni; la deformata non viene visualizzata se prima non sono stati svolti i
calcoli della struttura; la struttura viene disegnata in nero, i carichi in verde e la
deformata in rosso; di solito la deformata si scosta poco dal disegno della struttura
scarica, motivo per cui, per poterla visualizzare meglio, occorre "amplificarla"
opportunamente; l'amplificazione e' solo un artificio di disegno; il disegno non
tiene conto delle rotazioni, ma solo degli spostamenti dei nodi (in qualsiasi direzione)
- per calcolare la struttura: fare click sulla scelta n.1 della sezione Calcoli
del menu principale; fare click sulla scelta n.2 se si desidera visualizzare tutti i
passaggi intermedi del calcolo
- per stampare il progetto riassuntivo completo di tutti i dati e dei diagrammi
delle sollecitazioni: fare click sulla scelta n.1 della sezione Relazione;
prima di chiedere la relazione occorre aver calcolato la struttura (sez. Calcoli);
NOTA IMPORTANTE: ogni volta che si modificano i dati dei nodi e/o delle aste occorre ricalcolare
la struttura *prima* di selezionare qualcosa dalle sezioni Disegni e Relazione,
altrimenti i disegni e la relazione saranno relativi ai risultati del calcolo precedente !!!
Accesso al motore online
Per accedere al menu principale fare click qui.
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