Dalle lezioni del corso di Complementi di Costruzione di Macchine tenute dal Prof. Ing. Renato Esposito
nell'anno accademico 1977/78 presso la Facolta' di Ingegneria dell'Universita' di Napoli
Il metodo degli Elementi Finiti applicato al calcolo strutturale
Esposizione applicativa completa di motore online gratuito per la risoluzione delle strutture piane
con disegno (della struttura, della deformata, delle sollecitazioni) e relazione PDF scaricabile

INFORMAZIONE: sono stati inseriti 3 progetti dimostrativi, tutti privi di password (cioe' nel campo password non occorre inserire nulla). I progetti sono:
- demo1: portale isostatico semplice
- demo2: trave reticolare
- cap_1: capriata semplice
Per tutti questi progetti, a titolo dimostrativo, si possono effettuare i calcoli, visualizzare le deformate, nonche' scaricare i report PDF stampabili.
NOTA: attendere sempre alcuni secondi per la visualizzazione delle immagini.

Indice:

  • Presentazione
  • Il motore online e le sue caratteristiche
  • Nota sulla realizzazione del motore online
  • Nota sulla responsabilita'
  • La definizione della struttura
  • La definizione dei carichi
  • I calcoli
  • Istruzioni per l'utilizzo
  • Accesso al motore online
  • Presentazione

    Il metodo degli elementi finiti applicato al calcolo strutturale e' un brillante connubio tra calcolo matriciale e scienza delle costruzioni. In questa pagina web trovate:
    • l'applicazione commentata del metodo dal punto di vista della programmazione (v. paragrafo "I calcoli")
    • un programma denominato motore online che dimostra l'utilizzo del metodo
    Il "motore online" e' un programma gratuito per la risoluzione delle strutture piane, con generazione dinamica dei disegni (struttura, carichi, deformata) e della relazione finale PDF (scaricabile e stampabile).

    L'implementazione su Internet del motore di calcolo e' resa possibile dall'elevata potenza elaborativa del servente web su cui "gira" il programma (si tratta di un Athlon a 2 GHz con s.o. Linux) e dalla estrema potenza del linguaggio utilizzato nella programmazione (il Perl). Se disponete di una connessione ADSL otterrete i risultati praticamente in tempo reale.

    La realizzazione di questa pagina web e del motore online mi e' stata resa possibile dall'aver seguito a suo tempo il corso di Complementi di Costruzione di Macchine per gli allievi del Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica, le cui lezioni erano tenute nella seconda meta' degli anni '70 dal chiarissimo Prof. Ing. Renato Esposito (oggi Direttore del Dipartimento di Progettazione e Gestione Industriale dell'Universita' di Napoli Federico II).

    Il motore online e le sue caratteristiche

    Il motore online consente di risolvere le strutture piane e di trovare le caratteristiche della sollecitazione nelle aste. Il motore e' funzionante e chiunque puo' inserire la sua struttura ed ottenere il risultato del calcolo, disegni e relazione finale in PDF scaricabile inclusi. Le strutture inserite sono richiamabili in tempi successivi da coloro che le hanno inserite (attraverso una "sigla" ed una password). Le strutture non riutilizzate entro 6 mesi vengono automaticamente cancellate. Il servizio e' gratuito. Le istruzioni per l'utilizzo sono fornite nell'ultimo paragrafo di questa pagina.

    Dal punto di vista strutturale queste sono le caratteristiche del motore online:

    • elementi trattati: elementi monodimensionali, in particolare aste metalliche con modulo di Young a trazione uguale a quello di compressione, sezione retta e momento d'inerzia costante lungo ciascun elemento
    • sistema di coordinate globale: asse x orizzontale ed asse y verticale (rispetto al piano di terra)
    • sistema di coordinate locale: un sistema per ogni asta, con l'asse x (lungo l'asta) avente origine in un estremo dell'asta e direzione positiva verso l'altro estremo, ed asse y ortogonale all'asta nel piano della struttura
    • numero di nodi: massimo 99 nodi
    • numero di aste: massimo 99 aste
    • carichi applicabili: forze e momenti sui nodi (in futuro anche sulle aste)
    • vincoli interni: incastro, cerniera
    • vincoli esterni: incastro, cerniera, appoggio verticale (cioe' appoggio con sola reazione nella direzione dell'asse y globale)
    • disegno della struttura: generato dinamicamente, con visualizzazione dei carichi e della deformata con amplificazione selezionabile (il disegno della deformata tiene conto degli spostamenti orizzontali e verticali dei nodi, ma non delle rotazioni)
    • stampa del progetto: file PDF generato dinamicamente, scaricabile e stampabile (include le matrici di ogni singola asta)
    Con queste caratteristiche si possono risolvere travature reticolari piane complesse, come ad esempio un ponte appoggiato da un lato ed incernierato dall'altro. Le sollecitazioni termiche ed i vincoli cedevoli non sono previsti.

    Dal punto di vista informatico le caratteristiche del motore online sono le seguenti:

    • modello di programmazione: client/server
    • protocollo di comunicazione: HTTP/CGI
    • linguaggio di programmazione: Perl
    • database di supporto: MySQL
    • disegno dinamico: modulo GD.pm scritto in Perl da Lincoln D. Stein (il modulo GD a sua volta si appoggia alla libreria grafica GD di Tom Boutell)
    • trattamento delle matrici: modulo Math::Matrix scritto in Perl da Ulrich Pfeifer
    • generazione dinamica dei files PDF: modulo PDF::API2 scritto in Perl da Alfred Reibenschuh
    Da anni realizzo banche dati online in Perl/MySQL, cioe' applicazioni prettamente gestionali, ma posso assicurare (ed i risultati lo dimostrano) che tale "accoppiata" risulta altrettanto valida per applicazioni eminentemente tecniche come questa di calcolo strutturale. Il Perl esegue le operazioni matematiche in "doppia precisione", anche se i risultati per motivi estetici sono presentati con opportuno arrotondamento.

    Nota sulla realizzazione del motore online

    Nella stesura di questo articolo in lingua italiana, e nella scrittura del programma in Perl del motore online, posso aver commesso uno o piu' errori. Ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno segnalarmi eventuali errori, affinche' li possa correggere. Ringrazio anche coloro che vorranno darmi idee e suggerimenti per migliorare la fruibilita' di queste pagine web, o fornire materiale addizionale da pubblicare.

    Nota sulla responsabilita'

    Le informazioni contenute in questa pagina web sono fornite a puro titolo didattico, e non hanno la pretesa di essere complete ne' veritiere. Cionondimeno ho posto la massima attenzione nel presentare informazioni quanto piu' possibile accurate e prive di errori.

    Il motore online per il calcolo delle strutture il cui uso gratuito e' offerto in questa pagina web va utilizzato a puro scopo didattico, ed e' stato realizzato per consentire agli studenti di Ingegneria di verificare l'esattezza dei propri calcoli effettuati con tecniche tradizionali.

    Non mi assumo alcuna responsabilita' per errori di dimensionamento derivanti dall'uso dei risultati di calcolo strutturale forniti dal motore online. L'uso dei risultati per scopi diversi da quello didattico sopra menzionato e' a rischio e pericolo di chi lo fa.

    La definizione della struttura

    La definizione della struttura nel motore online avviene inserendo nodi ed aste. I dati inseriti possono essere integrati, modificati o eliminati in qualunque momento, ad esempio si possono spostare o eliminare nodi, aggiungere e togliere aste. Le coordinate dei nodi della struttura vanno inserite nel sistema di riferimento globale sopra definito. Cambiando le coordinate di un nodo cambia la lunghezza di tutte le aste ad esso afferenti. Non e' permesso eliminare un nodo se prima non sono state tolte tutte le aste ad esso collegate.

    La definizione dei nodi della struttura prevede, per ciascun nodo, l'input di:

    • coordinate globali
    • tipo di vincolo realizzato
    • carichi nodali
    La definizione delle aste della struttura prevede, per ciascuna asta, l'input di:
    • nodi estremi
    • modulo di Young
    • area della sezione retta
    • momento d'inerzia
    • designazione UNI
    Per le aste, nell'help in linea, sono riportati l'area della sezione retta ed il momento d'inerzia per le aste UNI della serie IPE.

    La definizione dei carichi

    I carichi si distinguono in carichi nodali e carichi sulle aste, e vanno inseriti nel motore online ordinatamente uno alla volta. In questa prima versione del motore online e' possibile definire solo carichi nodali. Appena possibile saranno implementati i carichi sulle aste che, come noto, vanno trasformati in carichi nodali equivalenti prima di effettuare il calcolo complessivo della struttura. Dopo il calcolo, poi, i carichi sulle aste verranno addizionati alle sollecitazioni nodali determinate dal calcolo, e l'insieme complessivo di forze e momenti verra' utilizzato per ricavare il diagramma della sollecitazione asta per asta.

    Come carichi nodali si possono inserire:

    • forze
      • nodi interni: su tutti gli incastri e tutte le cerniere in tutte le direzioni (attraverso l'indicazione delle componenti sugli assi globali)
      • nodi esterni: si possono applicare tutte le forze che non siano contrastate dalle reazioni vincolari (che non caricherebbero la struttura); quindi e' inutile caricare forze su incastri e cerniere, e nella direzione della reazione degli appoggi
    • momenti
      • nodi interni: su tutti gli incastri
      • nodi esterni: inutile applicare momenti su incastri esterni perche' vengono contrastati dalla reazione vincolare e non producono carico sulla struttura
    Come carichi sulle aste si potranno introdurre (in una versione successiva del motore online):
    • carico concentrato: uno o piu' carichi concentrati in punti qualsiasi dell'asta; ogni carico puo' anche essere non ortogonale all'asta medesima (in questo caso in fase di input dei dati occorre fornire l'inclinazione in gradi)
    • carico distribuito: uno o piu' carichi distribuiti anche a copertura parziale dell'asta, ed anche non ortogonali all'asta medesima (anche in questo caso occorre fornire l'angolo di inclinazione)
    • momento: uno o piu' momenti anche in piu' punti diversi dell'asta
    Se su un'asta e' sollecitata da piu' di un carico vale il principio di sovrapposizione degli effetti.

    I calcoli

    Per la comprensione delle figure associate a ciascuna delle fasi esposte in questo paragrafo si suppone che il lettore conosca il calcolo matriciale ed abbia seguito almeno il corso di teoria del metodo degli elementi finiti applicato al calcolo strutturale. Infatti tutte le spiegazioni fornite non intendono sostituirsi al corso teorico, ma sono relative esclusivamente all'implementazione pratica del metodo di calcolo.

    Una volta inseriti i dati relativi alla definizione della struttura ed alla definizione dei carichi, il motore online passa alla risoluzione della struttura effettuando le operazioni qui appresso descritte. Il numero di ciascuna FASE e' in relazione diretta con il display dei passaggi svolti durante i calcoli dal motore online:

    • FASE 1: calcolo della lunghezza l (fig.1) per ciascuna asta
    • FASE 2: calcolo della matrice di trasformazione dal sistema di coordinate locali al sistema di coordinate globali L (fig.2) per ciascuna asta
    • FASE 3: calcolo della matrice di rigidezza in coordinate locali kl (fig.3) per ciascuna asta
    • FASE 4: calcolo della matrice di rigidezza in coordinate globali kg (fig.4) per ciascuna asta
    • FASE 5: assemblaggio della matrice di rigidezza della struttura complessiva in coordinate globali K (fig.5)
    • FASE 6: determinazione del vettore dei carichi nodali P sulla struttura (fig.6)
    • FASE 7: estrazione della matrice di rigidezza dei nodi liberi della struttura Kll (fig.7)
    • FASE 8: estrazione del sottovettore dei carichi Pl non contrastati dai vincoli esterni (fig.8)
    • FASE 9: calcolo del vettore degli spostamenti dei nodi non vincolati Sl (fig.9)
    • FASE 10: costruzione del vettore degli spostamenti S di tutti i nodi della struttura in coordinate globali (fig.10)
    • FASE 11: risoluzione delle aste:
      • calcolo del vettore sg degli spostamenti dei nodi estremi in coordinate globali (fig.11)
      • calcolo del vettore sl degli spostamenti dei nodi estremi in coordinate locali (fig.12)
      • calcolo del vettore pl dei carichi dei nodi estremi in coordinate locali (fig.13)
      • calcolo delle caratteristiche della sollecitazione (fig.14)
    Una volta diagrammate le caratteristiche della sollecitazione e' immediato ricavare la sezione piu' sollecitata e le tensioni di confronto.

    Al termine dei calcoli e' possibile generare dinamicamente e scaricare dal servente un file PDF con la relazione completa di calcolo, disegni inclusi.

    Istruzioni per l'utilizzo

    L'interfaccia del motore online e' semplice ed intuitiva, facile da utilizzare per chiunque sappia navigare su Internet. In ogni caso queste sono le istruzioni generali.
    • per accedere: fare click sul link in fondo a questa pagina. Appare il menu con la sezione Progetti aperta. Le altre sezioni non si espandono se non si inserisce un nuovo progetto o se non si richiama un progetto esistente. Per inserire un nuovo progetto selezionare la scelta n.1, quindi riempire tutti i campi richiesti, ed infine ricordarsi di registrare il progetto facendo click sul pulsante registra in fondo alla pagina. Quindi tornare al menu principale. Uno dei campi obbligatori nell'inserimento di un nuovo progetto e' la sigla, cioe' un campo di max 20 caratteri dove occorre inserire una stringa mnemonica che servira' per poter richiamare il progetto in future sessioni di lavoro. Per richiamare un progetto inserito in precedenza occorre digitare la sigla (o parte della sigla) nell'apposita casella della scelta n.2 e fare click su OK. Appare l'elenco delle sigle dei progetti esistenti che contengono i caratteri digitati nella casella. Selezionare la sigla del progetto desiderato e fare click su prosegui. Digitare la password del progetto e fare click su controlla password. La password e' necessaria perche' ciascuno lavori sui propri progetti e non interferisca con i progetti degli altri. Se la password e' accettata si puo' tornare al menu principale
    • per modificare i dati generali di un progetto: fare click sulla scelta n.3 della sezione Progetti del menu principale; al termine ricordarsi di fare click sul pulsante aggiorna, e tornare al menu principale
    • per inserire nodi e carichi nodali: fare click sulla scelta n.1 della sezione Nodi; rispettare le unita' di misura indicate; fare click su help accanto ad ogni campo per le informazioni necessarie
    • per visualizzare, modificare o cancellare nodi e carichi nodali: fare click sulla scelta n.2 della sezione Nodi; selezionare il nodo dalla lista dei nodi disponibili e fare click su visualizza; apportare le opportune modifiche, fare click su aggiorna e tornare al menu principale; per eliminare il nodo fare click su elimina e confermare
    • per inserire aste: fare click sulla scelta n.1 della sezione Aste; rispettare le unita' di misura indicate; fare click su help accanto ad ogni campo per le informazioni necessarie
    • per visualizzare, modificare o cancellare aste: fare click sulla scelta n.2 della sezione Aste; selezionare l'asta dalla lista delle aste disponibili e fare click su visualizza; apportare le opportune modifiche, fare click su aggiorna e tornare al menu principale; per eliminare l'asta fare click su elimina e confermare
    • per disegnare la struttura: fare click su una delle scelte della sezione Disegni; la deformata non viene visualizzata se prima non sono stati svolti i calcoli della struttura; la struttura viene disegnata in nero, i carichi in verde e la deformata in rosso; di solito la deformata si scosta poco dal disegno della struttura scarica, motivo per cui, per poterla visualizzare meglio, occorre "amplificarla" opportunamente; l'amplificazione e' solo un artificio di disegno; il disegno non tiene conto delle rotazioni, ma solo degli spostamenti dei nodi (in qualsiasi direzione)
    • per calcolare la struttura: fare click sulla scelta n.1 della sezione Calcoli del menu principale; fare click sulla scelta n.2 se si desidera visualizzare tutti i passaggi intermedi del calcolo
    • per stampare il progetto riassuntivo completo di tutti i dati e dei diagrammi delle sollecitazioni: fare click sulla scelta n.1 della sezione Relazione; prima di chiedere la relazione occorre aver calcolato la struttura (sez. Calcoli);
    NOTA IMPORTANTE: ogni volta che si modificano i dati dei nodi e/o delle aste occorre ricalcolare la struttura *prima* di selezionare qualcosa dalle sezioni Disegni e Relazione, altrimenti i disegni e la relazione saranno relativi ai risultati del calcolo precedente !!!

    Accesso al motore online

    Per accedere al menu principale fare click qui.

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